CIC фильтры Хогенауэра

В данной статье речь пойдет о каскадных интегрально-гребенчатых фильтрах (cascaded integral-comb filters CIC) Хогенауэра (Hogenauer), нашедшим широкое применение в задачах децимации и интерполяции. Главная отличительная особенность CIC фильтров заключается в том, что они не требуют операций умножения. Это обстоятельство делает CIC фильтры весьма привлекательными при аппаратной реализации на FPGA или DSP.

где

- отсчеты входного сигнала,

- выходной сигнал. Схема интегратора представлена на рисунке 1.

тогда (4) можно представить в виде:

где

- задержка. Схема гребенчатого фильтра представлена на рисунке 4.

Таким образом на нулевой частоте значение амплитудно-частотной характеристики равно задержке гребенчатого фильтра, и можно сделать вывод о том, что CIC фильтр представляет собой фильтр нижних частот. При этом необходимо сделать замечание: при

, т.е. CIC фильтр при

является всепропускающим. На рисунках 11-14 приведены амплитудно- и фазочастотные характеристики CIC фильтра первого порядка при различной задержке гребенчатого фильтра.

Необходимо отметить, что CIC фильтр первого порядка — очень неважный ФНЧ, так как уровень первого бокового лепестка составляет -13 дБ, что недопустимо много. Для увеличения подавления в полосе заграждения необходимо использовать CIC фильтры более высокого порядка, полученные каскадным включением нескольких интеграторов и гребенчатых фильтров. Например на рисунке 15 показан CIC фильтр 4-го порядка.

Увеличение порядка CIC фильтра

на единицу позволяет уменьшить уровень бокового лепестка на 11 … 13 дБ в зависимости от задержки

. При этом коэффициент передачи на нулевой частоте CIC фильтра порядка

равен

. На рисунках представлены АЧХ CIC фильтров различного порядка при фиксированной задержке

при

увеличивается на 12 дБ с увеличением порядка фильтра на единицу. Кроме того увеличение порядка фильтра на единицу приводит к уменьшению уровня боковых лепестков на 11 .. 13 дБ. С одной стороны мы давим боковые лепестки, и это хорошо, но с другой получаем высокий коэффициент усиления, что требует увеличения количества разрядов цифрового представления сигнала, а это уже негативный эффект. Так например для фильтра шестого порядка при

коэффициент усиления составляет 72 дБ, и это означает, что динамический диапазон сигнала увеличивается на 72 дБ, что соответствует дополнительным 12 разрядам цифрового представления. Таким образом если исходный сигнал имеет разрядность 16 бит, то обработка сигнала должна идти при 28- или более битном представлении, во избежание эффектов переполнения. Кроме того использование CIC фильтров с большими задержками

приведет к еще более быстрому росту коэффициента усиления с увеличением порядка фильтра. Так, например, CIC фильтр 6-го порядка при задержке

будет иметь коэффициент усиления

, что требует дополнительных 19 разрядов представления сигнала.

При реализации CIC фильтра необходимо правильно выбрать разрядность вычислителя. При этом не допускается округление результатов интегрирования, поскольку это может привести к «неустойчивости» фильтра. Рассмотрим это на примере. Пусть имеется CIC фильтр 5-го порядка при задержке

. Коэффициент усиления данного фильтра согласно (17) равен 60 дБ, что приводит к увеличению на 10 бит разрядности представления сигнала. Каскад фильтров - интеграторов производит накопление сигнала, поэтому для исключения переполнения произведем округление значений сигнала и перейдем к вычислениям с плавающей точкой. При этом рассмотрим импульсную характеристику заданного CIC фильтра при 16 битном (красный график рисунка 20) и 32 битном (синий график рисунка 20) вычислителях.

Как следует из рисунка 20, при 32 битном представлении разрядной сетки достаточно чтобы обеспечить интегрирование без округлений. Однако при вычислении с 16 битной сеткой при интегрировании возникают округления, которые вносят ошибки при дальнейшем вычитании в гребенчатом фильтре, В результате ошибки округления приводят к «неустойчивости» фильтра. Важно понять что «неустойчивость» возникает не вследствие переполнения разрядности (16 бит с плавающей точкой вполне достаточно для представления чисел), а именно в результате округления при интегрировании. Таким образом, при реализации CIC фильтра необходимо отказаться от промежуточных округлений результатов интегрирования и использовать столько разрядов сколько требуется для точной целочисленной арифметики.При программной реализации можно обеспечить устойчивость CIC фильтра, если произвести перестановку интеграторов и гребенчатых фильтров как показано на рисунке 21.

Таким образом, в данной статье мы рассмотрели CIC фильтры, не требующие операций умножения. Показано, что CIC фильтры представляют собой фильтры нижних частот и их частотные характеристики зависят как от порядка фильтра, так и от параметра задержки гребенчатого фильтра. Дополнительно приведены выражения для коэффициента усиления CIC фильтра, и произведенный анализ показал необходимость увеличения разрядной сетки вычислительного устройства в зависимости от порядка фильтра. Кроме того показано негативное влияние эффекта округления при фиксированной разрядности вычислителя на характеристики фильтра.